Teorema de Tales: usando áreas para demonstrá-lo

O teorema de Tales e sua recíproca são importantíssimos em Geometria porque a partir deles podemos obter os teoremas relativos à semelhança de triângulos e as propriedades da homotetia. A vantagem da demonstração que apresentamos aqui está no fato que nela não importa se os segmentos AB’ e AB são comensuráveis ou não. A demonstração tradicional, que usa o feixe de paralelas, só fica completa com a incômoda passagem ao limite.

Vejamos!

Teorema de Tales

Sejam B’ e C’ pontos dos lados AB  e AC, respectivamente, do triângulo ABC.  Se B’C’ for paralelo a BC,   então

AB’/AB  = AC’/AC.


Tales

Demonstração

Se B’C’ é paralelo a BC, então os triângulos B’C'B e B’C'C tem mesma área porque possuem mesma base B’C’ e alturas relativas a essa base também iguais. Acrescentando a esses triângulos o triângulo AB’C', concluímos que os triângulos ABC’ e AB’C também possuem mesma área. Se dois triângulos possuem mesma altura ( h1 é altura relativa à base AB’ do triângulo AB’C’ e relativa à base AB  do triângulo ABC’ ; h2 é altura relativa à base AC do triângulo AB’C e relativa à base AC’ do triângulo AB’C'), então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases, logo,
AB’/AB = Área (AB’C')/ Área(ABC’) = Área(AB’C')/Área ( AB’C) = AC’/AC o que prova o teorema.

Muitas vezes, diversas demonstrações em Geometria e Trigonometria tornam-se fáceis e elegantes quando usamos o conceito de área.

Fonte: Baseado no artigo Usando áreas de Eduardo Wagner, RPM 21.

6 Respostas para “Teorema de Tales: usando áreas para demonstrá-lo”

  1. Fácil de entender,completa, criativa e muito elegante. Gostei muito dessa demonstração!

  2. Realmente! Muito simples e super interessante.

    Só fica a dica de falar sobre HOMOTETIA. Seria algum medicamento homeopático? Risos…

    Excelente trabalho.

  3. Esta demonstração aparece no livro de Ed e moyse(não sei se é assim que escreve), autores de um livro famoso publicado em ingles e traduzido p/portugues. Não se acha mais p/comprar pois não é editado mais. Excelente livro, ele faz muitas demonstrações utilizando a idéia de área. Pena que os autores brasileiros não se inspiraram nele! Bom trabalho, forte abraço.

    José Neto

  4. Deny Stanley says:

    ei amigo, muito boa a explicação, mas quando vc disse ” AB’/AB = Área (AB’C’)/ Área(ABC’) = Área(AB’C’)/Área ( AB’C) = AC’/AC ” você não quis dizer ” (AB’/AB)^2 = Área (AB’C’)/ Área(ABC’) = Área(AB’C’)/Área ( AB’C) = (AC’/AC)^2 por se tratar de relação entre a área e o lado do triangulo?

    bom, seja como for não mudaria em nada pois é só tirar as raízes dos dois lados.

    mto obrigado pela explicação ae, vlw msm =)

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